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123 Rechnen

Rechnen mit Brüchen
Ungleichnamige Brüche
auf den gleichen Nenner bringen

Brüche Addieren,
Brüche Subtrahieren
Brüche Multiplizieren
Brüche Dividieren

Eigenen Aufgaben erstellen

Rechnen üben
Addieren, Subtrahieren
Multiplizieren, Dividieren
Das Einmaleins, 1x1 Tabelle
kleines Einmaleins großes Einmaleins
Quadrieren, Radizieren
Wurzel ziehen
Die Zahlen

Bruchrechnung und Musik

Man kann versuchen die Schüler dahin zu bringen, dass sie mit den Brüchen rein äußerlich umgehen können, weil nun einmal das heutige Leben vom Erwachsenen die Kenntnis der Bruchrechnung Verlangt. Es kann nicht abgestritten werden, dass man auf diesem Wege bisher weit gekommen ist. Die Schüler werden auf Grund einer solchen Schulung z. B. recht gut und sehr bald die verschiedensten Brüche miteinander multiplizieren können, indem sie mechanisch einerseits die Zähler und andererseits die Nenner multiplizieren. Sie werden sogar, wenn sie älter geworden sind und ihr Begriffsvermögen erstarkt ist, imstande sein, auch zu verstehen, warum man so verfahren Muss.

Besser ist es die Technik des Bruchrechnens zugunsten eines tieferen Eindringens in das Bruchwesen einzuschränken, wenn nicht die heutige Zivilisation die absolute Beherrschung alles Rechnerischen gebieterisch forderte.

Wenn man die Aufgabensammlungen daraufhin prüft, welche Beispiele für die Multiplikation und die Division von Brüchen aus dem täglichen Leben gebraucht werden, so ist das Ergebnis äußerst mager. Umso reichhaltiger wird man mit Aufgaben bedient, welche rein formalen Charakters sind. Und doch gibt es ein Anwendungsgebiet, das sich sämtliche Aufgabensammlungen bisher haben entgehen lassen, die Intervallenlehre im Gebiete des Musikalischen. Dort kommt man ohne das Multiplizieren und Dividieren von Brüchen nicht aus.

Beispielen aus dem Musikalischen
Wenn es sich z. B, darum handelt, von einem Grundton c um zwei große Ganztöne vom Intervall 9/8 fortzuschreiten, so gelangt man zur sogenannten pythagoreischen Terz des Grundtons c, deren Intervall sich als 9/8 . 9/8/= 81/64 ergibt. Sie liegt um ein Geringes, um ein "Haar" höher als die natürliche Terz vom Intervall 5/4. Dieser Betrag wird syntonisches Komma genannt; es errechnet sich, indem man den Bruch 81/64 durch den Bruch 5/4 teilt:

81/64 : 5/4 = 81/64 : 80/64 = 81/80

Man kann nun auch die Frage beantworten, welche zwei Ganztöne die natürliche Terz vom Grundton trennen, und benötigt zu dieser Aufgabe die Rechnung:

9/8 · x = 5/4
x = 5/4 : 9/8 = 5/4. 8/0 = 40/36=10/9

Man nennt das Ergebnis einen kleinen Ganzton und weiß nun, dass die natürliche Terz die Summe eines großen und eines kleinen Ganztons ist:

9/8 mal 10/9 = 90/72 = 5/4

An Hand eines Monochords oder einer Lochsirene ist man dann in der Lage zu den Intervallbrüchen z.B. einer Durtonleiter zu gelangen:

Prim  Sekund  Terz  Quart  Quint  Sext  Septim  Oktav  None  ...
 1     9/8     5/4   4/3    3/2   5/3    15/8     2    9/4   ...

Somit entspricht:
der Addition von Tonschritten die Multiplikation der Intervallzahlen
der Subtraktion von Tonschritten die Division der Intervallzahlen
der Verdoppelung des Tonschritts die Quadrierung der Intervallzahl
der Halbierung des Tonschritts die Radizierung der Intervallzahl

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